Question

4．顶点在原点、焦点在y轴上的抛物线过点P（4，2）上，A、B是抛物线上异于P的不同两点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设直线PA、PB的斜率分别为k₁、k₂，且k₁+k₂=2．
（ⅰ）求证：直线AB的斜率是定值；
（ⅱ）若抛物线在A、B两点处的切线交于点Q，请探究点Q是否在定直线上．

Answer 1

分析 （1）通过设抛物线的方程为：x²=2py，p＞0，将点P（4，2）代入，计算即可；
（2）通过设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$）、B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}$），利用k₁+k₂=2计算可得x₁+x₂=8．（ⅰ）利用斜率公式、结合x₁+x₂=8，计算即可；（ⅱ）通过求导，分别写出两切线方程，通过作差、利用x₁+x₂=8即得结论．

解答 （1）解：根据题意可设抛物线的方程为：x²=2py，p＞0，
∵抛物线过点P（4，2），
∴4p=16，即p=4，
∴抛物线的标准方程为：x²=8y；
（2）设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}$），
又∵P（4，2），
∴k₁=$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}-2}{{x}_{1}-4}$=$\frac{{x}_{1}+4}{8}$，
k₂=$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}-2}{{x}_{2}-4}$=$\frac{{x}_{2}+4}{8}$，
∵k₁+k₂=2，
∴$\frac{{x}_{1}+4}{8}$+$\frac{{x}_{2}+4}{8}$=2，
∴x₁+x₂=8．
（ⅰ）证明：k_AB=$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{8（{x}_{2}-{x}_{1}）}$=$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{8}$，
∵x₁+x₂=8，
∴k_AB=$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{8}$=$\frac{8}{8}$=1，
即直线AB的斜率为定值1；
（ⅱ）结论：点Q在定直线x=4上．
理由如下：
∵x²=8y，
∴y=$\frac{{x}^{2}}{8}$，y′=$\frac{x}{4}$，
∴A、B两点处的切线的斜率分别为：$\frac{{x}_{1}}{4}$、$\frac{{x}_{2}}{4}$，
从而两切线方程分别为：y=$\frac{{x}_{1}}{4}$x-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{8}$、y=$\frac{{x}_{2}}{4}$x-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{8}$，
两式相减得：$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{4}$x=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{8}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{8}$，
∴x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{8}{2}$=4，
∴点Q在定直线x=4上．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查抛物线、斜率等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．