Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），且x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]
（1）求|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|的取值范围；
（2）若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，试求f（x）的最小值，并求出此时x的值．

Answer 1

分析 （1）先求向量$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$的坐标，从而写出其长度|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=2|sinx|，由x∈$[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$便知-1≤sinx≤1，这样便可得出$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$的取值范围；
（2）求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=cos2x$，从而得出f（x）=cos2x-2|sinx|=$-2（|sinx|+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{2}$，显然可知|sinx|=1时，f（x）取到最小值-3．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=（cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2}，sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}）$；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{（cos\frac{3x}{2}+cos\frac{x}{2}）^{2}+（sin\frac{3x}{2}-sin\frac{x}{2}）^{2}}$=$\sqrt{2+2cos2x}=2|cosx|$；
∵$x∈[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$；
∴-1≤cosx≤0；
∴0≤|cosx|≤1；
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$的取值范围为[0，2]；
（2）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=cos2x$；
∴f（x）=cos2x-2|sinx|=-2|sinx|²-2|sinx|+1=$-2（|sinx|+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{2}$；
∴|sinx|=1时，f（x）取最小值-3．

点评 考查向量坐标的加法运算，根据向量的坐标求向量长度的公式，以及两角差的余弦公式，二倍角的余弦公式，配方求二次函数最值的方法，要熟悉正弦函数的图象．