Question

3．已知数列{a_n}中，a₂=1，前n项和为S_n，且S_n=$\frac{1}{2}{n^2}-\frac{1}{2}$n．
（1）求a₁；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{3^n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）令n=1则a₁=S₁，计算即可得到；
（2）当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，化简计算即可得到所求通项公式；
（3）化简数列{b_n}的通项，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到．

解答 解：（1）a₁=S₁=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=0；
（2）当n＞1时，S_n=$\frac{1}{2}{n^2}-\frac{1}{2}$n，
S_n-1=$\frac{1}{2}$（n-1）²-$\frac{1}{2}$（n-1），
两式相减可得，
a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（2n-1）-$\frac{1}{2}$
=n-1，
对n=1也成立，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=n-1；
（3）b_n=$\frac{{{a_{n+1}}}}{3^n}$=n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
前n项和T_n=1•$\frac{1}{3}$+2•$\frac{1}{9}$+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
$\frac{1}{3}$T_n=1•$\frac{1}{9}$+2•$\frac{1}{27}$+…+n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
两式相减可得，$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+（$\frac{1}{3}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-n•（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{4•{3}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项和求和的关系，主要考查数列的求和方法：错位相减法，等比数列的求和公式的运用，属于中档题和易错题．