Question

15．若对任意的实数x，关于x的不等式|a-x+2|+|2a-x+1|≥|a|恒成立，则实数a的取值范围为（-∞，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 令f（x）=|a-x+2|+|2a-x+1|，由|a-x+2|+|2a-x+1|≥|（a-x+2）-（2a-x+1）|=|a-1|，由恒成立思想可得|a|≤|a-1|，解不等式可得a的范围．

解答 解：令f（x）=|a-x+2|+|2a-x+1|，
由|a-x+2|+|2a-x+1|≥|（a-x+2）-（2a-x+1）|
=|a-1|，
当且仅当（a-x+2）（2a-x+1）≤0，取得等号，
即有f（x）的最小值为|a-1|，
由恒成立思想可得|a|≤|a-1|，
即为a²≤（a-1）²，
解得a≤$\frac{1}{2}$．
故答案为：（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查函数恒成立问题的解法，注意运用绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．