Question

16．已知函数f（x）=ax³，函数g（x）=x²+bx+c满足g（1）=g（3）=-6．
（1）当a=-$\frac{2}{3}$时，求函数h（x）=f（x）-g（x）在[0，$\sqrt{3}$）上的最值；
（2）当x∈[-2，0]时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围
附：（x^a）′=ax^α-1，这里α∈Q．

Answer 1

分析 （1）由g（1）=g（3）=-6列出方程组求出b、c的值，代入h（x）化简并求出h′（x），利用导数与函数单调性的关系，求出h′（x）＞0和h′（x）＜0的解集，即可判断出函数h（x）的单调区间，再求出h（x）的最大值和最小值；
（2）由（1）和二次函数的单调性求出g（x）在[-2，0]上的单调性和最大值，求出f′（x）根据恒成立判断出a的符号，确定出f（x）的单调性并求出最小值，根据条件列出不等式，求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵g（x）=x²+bx+c满足g（1）=g（3）=-6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=-6}\\{9+3b+c=-6}\end{array}\right.$，解得b=-4，c=-3，
∴g（x）=x²-4x-3，
又a=-$\frac{2}{3}$，则h（x）=f（x）-g（x）=$-\frac{2}{3}{x}^{3}$-x²+4x+3，
∴h′（x）=-2x²-2x+4=2（-x²-x+2）=-2（x-1）（x+2），
∴当x∈[0，1）时，h′（x）＞0，当x∈$（1，\sqrt{3}）$时，h′（x）＜0，
∴函数h（x）在[0，1）上递增，在$（1，\sqrt{3}）$递减，
则当x=1时，函数h（x）取到最大值是h（1）=$\frac{16}{3}$，
又h（0）=3，h（$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$＞3，
∴函数h（x）在[0，$\sqrt{3}$）上的最大值是$\frac{16}{3}$，最小值是3；
（2）由（1）可得，g（x）=x²-4x-3=（x-2）²-7，
∴g（x）在[-2，0]上单调递减，最大值是g（-2）=9，
又f（x）=ax³，则f′（x）=3ax²，
∵当x∈[-2，0]时，f（x）≥g（x）恒成立，则a＜0．
∴f′（x）=3ax²≥0，则f（x）在[-2，0]上单调递增，最小值是f（-2）=-8a，
∵当x∈[-2，0]时，f（x）≥g（x）恒成立，∴-8a≥9，
解得a≤$-\frac{9}{8}$，
∴实数a的取值范围是（-∞，$-\frac{9}{8}$]．

点评 本题考查求导公式和法则，利用导数研究函数的单调性、最值，以及恒成立问题的转化，属于中档题．