Question

7．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，$\frac{2{S}_{n}}{n}$=a_n+1-$\frac{（n+1）（n+2）}{3}$，n∈N^*．
（1）证明：数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式．
（2）当x≥1时，比较lnx与x²-x的大小关系，并证明：$\frac{2}{ln{a}_{n+1}}$+$\frac{2}{ln{a}_{n+2}}$+…+$\frac{2}{ln{a}_{n+2015}}$＞$\frac{2015}{n（n+2015）}$，n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）通过对$\frac{2{S}_{n}}{n}$=a_n+1-$\frac{（n+1）（n+2）}{3}$变形可得2S_n=na_n+1-$\frac{n（n+1）（n+2）}{3}$，进而2S_n+1=（n+1）a_n+2-$\frac{（n+1）（n+2）（n+3）}{3}$，两式相减整理即得结论；
（2）通过记f（x）=x²-x-lnx且求导可知f（x）在[1，+∞）上是增函数，进而0＜lnx≤x²-x，利用a_n=n可知$\frac{1}{ln{a}_{n+t}}$≥$\frac{1}{n+t-1}$-$\frac{1}{n+t}$，并项相加、放缩即可．

解答 证明：（1）∵$\frac{2{S}_{n}}{n}$=a_n+1-$\frac{（n+1）（n+2）}{3}$，
∴2S_n=na_n+1-$\frac{n（n+1）（n+2）}{3}$，
2S_n+1=（n+1）a_n+2-$\frac{（n+1）（n+2）（n+3）}{3}$，
两式相减得：2a_n+1=（n+1）a_n+2-$\frac{（n+1）（n+2）（n+3）}{3}$-na_n+1+$\frac{n（n+1）（n+2）}{3}$，
整理得：（n+2）a_n+1=（n+1）a_n+2-（n+1）（n+2），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n+2}}{n+2}$-1，即$\frac{{a}_{n+2}}{n+2}$-$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}为等差数列；
∵a₁=1，∴$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
∴数列{a_n}的通项a_n=1+（n-1）=n；
（2）记f（x）=x²-x-lnx，则f′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$，
∵x≥1时，
∴f′（x）≥0，即f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f（x）≥f（1）=1-1-0=0，
∴0＜lnx≤x²-x；
∴$\frac{1}{lnx}$≥$\frac{1}{{x}^{2}-x}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x}$，
又∵a_n=n，
∴$\frac{1}{ln{a}_{n+t}}$≥$\frac{1}{n+t-1}$-$\frac{1}{n+t}$，
∴$\frac{2}{ln{a}_{n+1}}$+$\frac{2}{ln{a}_{n+2}}$+…+$\frac{2}{ln{a}_{n+2015}}$＞2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+2014}$-$\frac{1}{n+2015}$）
=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2015}$）
=2•$\frac{2015}{n（n+2015）}$
＞$\frac{2015}{n（n+2015）}$，n∈N^*．

点评 本题考查等差关系的确定，涉及函数的单调性等基础知识，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．