Question

2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=a（sinB+cosB）．
（1）求角A的大小；
（2）若边a=$\sqrt{2}$，求$\sqrt{2}$b-c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理、诱导公式和两角和与差的公式求得角A的大小；
（2）利用正弦定理求出b，c，利用两角和差的余弦公式进行化简即可得到结论．

解答 解：（1）∵在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=a（sinB+cosB），
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{a（sinB+cosB）}{sinC}$=$\frac{a（sinB+cosB）}{sin（A+B）}$，
∴sinAcosB+sinBcosA=sinAsinB+sinAcosB，即cosA=sinA，
∴A=45°；
（2）∵a=$\sqrt{2}$，A=45°，
∴$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=2，
即b=2sinB，c=2sinC，且B+C=135°，B=135°-C，（0°＜C＜135°）
则$\sqrt{2}$b-c=2$\sqrt{2}$sinB-2sinC=2$\sqrt{2}$sin（135°-C）-2sinC
=2$\sqrt{2}$（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosC+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinC）-2sinC
=-2cosC+2sinC-2sinC
=-2cosC，
∵0°＜C＜135°，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosC＜1，∴-$\sqrt{2}$＜2cosC＜2，
∴-2＜-2cosC＜$\sqrt{2}$，
故$\sqrt{2}$b-c的取值范围是（-2，$\sqrt{2}$）．

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．综合考查学生的运算能力．