Question

12．已知函数g（x）=x+sinx，当x∈R时，函数g（x）单调递增，定点M（-1，2），动点P（x，y）满足不等式g（y²-2y+3）+g（x²-4x+1）≤0恒成立，则|PM|的取值范围[$\sqrt{10}$-1，$\sqrt{10}$+1]．

Answer 1

分析 判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用点和圆的位置关系，进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），
∴f（-x）=-x-sinx=-（x+sinx）=-f（x），
即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函数，
∵g（y²-2y+3）+g（x²-4x+1）≤0，
∴g（y²-2y+3）≤-g（x²-4x+1）=g[-（x²-4x+1）]，
∵函数g（x）单调递增．
∴y²-2y+3≤-（x²-4x+1），
即（y²-2y+3）+（x²-4x+1）≤0，
∴（y-1）²+（x-2）²≤1，
∴不等式对应的平面区域为圆心为C（2，1），半径为1的圆及其内部．
则|CM|=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（1-2）^{2}}$=$\sqrt{9+1}$=$\sqrt{10}$，
则|PM|的最大值为$\sqrt{10}$+1，最小值为$\sqrt{10}$-1，
即$\sqrt{10}$-1≤|PM|≤$\sqrt{10}$+1，
即|PM|的取值范围是[$\sqrt{10}$-1，$\sqrt{10}$+1]．
故答案为：[$\sqrt{10}$-1，$\sqrt{10}$+1]．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断以及两点间的距离的取值范围，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的基本思想．