Question

14．等差数列{a_n}中的a₁、a₅是函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-5{x^2}$+9x-1的极值点，且公差d＞0，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2b_n-2，（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=x²-10x+9=（x-1）（x-9），令f′（x）=0，可得：1，9是函数f（x）的极值点．由于等差数列{a_n}中的公差d＞0，可得a₁=1，a₅=9．利用等差数列的通项公式可得a_n=2n-1．由S_n=2b_n-2，利用递推式与等比数列的通项公式即可得出．
（2）a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=x²-10x+9=（x-1）（x-9），令f′（x）=0，解得x=1，9，可得：1，9是函数f（x）的极值点．
∵等差数列{a_n}中的公差d＞0，∴a₁=1，a₅=9．∴9=1+4d，解得d=2，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵S_n=2b_n-2，（n∈N^*）．∴当n=1时，b₁=2b₁-2，解得b₁=2，
当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=（2b_n-2）-（2b_n-1-2），化为b_n=2b_n-1．
∴数列{b_n}是等比数列，首项为2，公比为2，
∴b_n=2ⁿ．
（2）a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ．
∴数列{a_n•b_n}的前n项和T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，
2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n+1}-1）}{2-1}$-4-（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
化为T_n=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式与等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”、利用导数研究函数的极值，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．