Question

11．已知f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{|x-1|}-1，0＜x≤2}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x＞2}\end{array}\right.$，则函数g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上的所有零点之和为（　　）

• A． 7
• B． 8
• C． 9
• D． 10

Answer 1

分析 由已知可分析出函数g（x）是偶函数，则其零点必然关于原点对称，故g（x）在[-6，6]上所有的零点的和为0，则函数g（x）在[-6，+∞）上所有的零点的和，即函数g（x）在（6，+∞）上所有的零点之和，求出（6，+∞）上所有零点，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）．
又∵函数g（x）=xf（x）-1，
∴g（-x）=（-x）f（-x）-1=（-x）[-f（x）]-1=xf（x）-1=g（x），
∴函数g（x）是偶函数，
∴函数g（x）的零点都是以相反数的形式成对出现的．
∴函数g（x）在[-6，6]上所有的零点的和为0，
∴函数g（x）在[-6，+∞）上所有的零点的和，即函数g（x）在（6，+∞）上所有的零点之和．
由0＜x≤2时，f（x）=2^|x-1|-1，故有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{1-x}，0＜x≤1}\\{{2}^{x-1}，1＜x≤2}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x＞2}\end{array}\right.$，
∴函数f（x）在（0，2]上的值域为[0，1]，当且仅当x=2时，f（x）=1．
又∵当x＞2时，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-2），
∴函数f（x）在（2，4]上的值域为[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]，
函数f（x）在（4，6]上的值域为[$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$]，
函数f（x）在（6，8]上的值域为[$\frac{1}{16}$，$\frac{1}{8}$]，当且仅当x=8时，f（x）=$\frac{1}{8}$，
函数f（x）在（8，10]上的值域为[$\frac{1}{32}$，$\frac{1}{16}$]，当且仅当x=10时，f（x）=$\frac{1}{16}$，
故f（x）＜$\frac{1}{x}$在（8，10]上恒成立，g（x）=xf（x）-1在（8，10]上无零点，
同理g（x）=xf（x）-1在（10，12]上无零点，
依此类推，函数g（x）在（8，+∞）无零点．
综上函数g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上的所有零点之和为8，
故选：B．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，其中在寻找（6，+∞）上零点个数时，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理．