Question

15．已知（3x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式中各二项式系数之和为16．
（1）求正整数n的值；
（2）求展开式中x项的系数．

Answer 1

分析 （1）由题意可得展开式中各二项式系数之和2ⁿ=16，从而求得n的值．
（2）在（3x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求得 r的值，可得展开式中x项的系数．

解答 解：（1）由题意可得展开式中各二项式系数之和2ⁿ=16，∴n=4．
（2）（3x+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{4}^{r}$•3^4-r•${x}^{4-\frac{3r}{2}}$，令4-$\frac{3r}{2}$=1，求得 r=2，
∴展开式中x项的系数为${C}_{4}^{2}$×3²=54．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．