Question

16．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的右焦点F作两条垂直的弦AB，CD．设AB，CD的中点分别为M，N．求证：直线MN必过定点，并求出这个定点．

Answer 1

分析 分AB、CD的斜率均存在或有一个不存在两种情况讨论．当AB、CD的斜率均存在时，设AB方程为：y=k（x-1），并代入椭圆方程消去y得到一个关于x的一元二次方程，利用韦达定理及中点坐标公式可得M（$\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}$，-$\frac{2k}{3{k}^{2}+2}$），通过将k换成-$\frac{1}{k}$可得N（$\frac{3}{2{k}^{2}+3}$，$\frac{2k}{2{k}^{2}+3}$），通过两点式方程化简可得直线MN方程为：x=-$\frac{3}{5}$（k-$\frac{1}{k}$）y+$\frac{3}{5}$，进而可得直线MN恒过定点（$\frac{3}{5}$，0）；当AB、CD的斜率有一个不存在时，易知结论成立．

解答 解：∵椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
∴右焦点F（1，0），
①当AB、CD的斜率均存在时，
设AB的斜率为k，则CD的斜率为-$\frac{1}{k}$，
∴AB方程为：y=k（x-1），
代入椭圆方程消去y得：
（3k²+2）x²-6k²x+（3k²-6）=0，
∴x_M=$\frac{{x}_{A}+{x}_{B}}{2}$=$\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}$，
y_M=k（x_M-1）=-$\frac{2k}{3{k}^{2}+2}$，
∴M（$\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}$，-$\frac{2k}{3{k}^{2}+2}$），
将k换成-$\frac{1}{k}$可得N（$\frac{3}{2{k}^{2}+3}$，$\frac{2k}{2{k}^{2}+3}$），
∴直线MN方程为：$\frac{y+\frac{2k}{3{k}^{2}+2}}{\frac{2k}{2{k}^{2}+3}+\frac{2k}{3{k}^{2}+2}}$=$\frac{x-\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}}{\frac{3}{2{k}^{2}+3}-\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}}$，
整理得：x=-$\frac{3}{5}$（k-$\frac{1}{k}$）y+$\frac{3}{5}$，
∴当y=0时，x=$\frac{3}{5}$，
即直线MN恒过定点（$\frac{3}{5}$，0）；
②当AB、CD的斜率有一个不存在时，
不妨设AB的斜率不存在，则AB⊥x轴，
∴M点即为F点，
又∵CD与x轴重合，∴N在x轴上，
∴MN与x轴重合，
显然直线MN过点（$\frac{3}{5}$，0）；
综上所述，定点为（$\frac{3}{5}$，0）．

点评 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解题．注意解题方法的积累，属于中档题．