Question

11．数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$，则a₃=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 通过对a_n+1=$\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$变形可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1，进而可得a_n=$\frac{1}{n}$，令n=3即得结论．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{a_n}{{1+{a_n}}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是公差为1的等差数列，
又∵a₁=1，即$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+（n-1）=n，
∴a_n=$\frac{1}{n}$，
∴a₃=$\frac{1}{3}$，
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查等差数列，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．另外本题也可直接代入计算．