Question

2．下列四个命题：
①函数$f（x）=\frac{1}{{{x^2}-2x+2}}$的值域为（0，1]；
②若二次函数f（x）=ax²+bx+2没有零点，则b²-8a＜0且a＞0；
③函数y=x²-2|x|-3的递增区间为[1，+∞）；
④函数$y=\sqrt{x+1}•\sqrt{x-1}$和$y=\sqrt{{x^2}-1}$是相同的函数；
其中正确命题为①．

Answer 1

分析 ①通过判断分母的单调性，从而判断函数f（x）的值域，②根据二次函数的性质判断即可；
③通过讨论x的范围，求出函数的对称轴，从而求出函数的递增区间；④根据相等函数的定义进行判断即可．

解答 解：①f（x）=$\frac{1}{{（x-1）}^{2}+1}$，
当x=1时，f（x）_max=1，当x→∞时，f（x）→0，
∴函数f（x）的值域是：（0，1]；
故①正确；
②若二次函数f（x）=ax²+bx+2没有零点，
即f（x）和x轴无交点，
则△=b²-8a＜0，
故②错误；
③x≥0时，y=x²-2x-3，对称轴x=1，开口向上，
∴递增区间是[1，+∞），
x＜0时，y=x²+2x-3，对称轴x=-1，开口向上，
∴递增区间是：[-1，0），
故③错误；
④函数$y=\sqrt{x+1}•\sqrt{x-1}$的定义域是：{x|x≥1}，
$y=\sqrt{{x^2}-1}$的定义域是：{x|x≥1或x≤-1}，
故不是相同的函数，
故④错误；
故答案为：①．

点评 本题考查了本题考查了函数的定义域，值域问题，考查函的单调性问题，是一道综合题．