Question

12．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n-5a_n-85（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n-1}是等比数列并求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a}_{1}}{18}$+log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a}_{2}}{18}$+…+log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a}_{n}}{18}$，求数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S_n=n-5a_n-85（n∈N^*）．可得a₁=1-5a₁-85，解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为6a_n+1=5a_n+1，变形为${a}_{n+1}-1=\frac{5}{6}（{a}_{n-1}-1）$，利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）可得：log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a}_{n}}{18}$=n，可得b_n=$\frac{n（n+1）}{2}$.$\frac{1}{{b}_{n}}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）证明：由S_n=n-5a_n-85（n∈N^*）．可得a₁=1-5a₁-85，解得a₁=-14．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n-5a_n-85-[（n-1）-5a_n-1-85]，
化为6a_n+1=5a_n+1，
∴${a}_{n+1}-1=\frac{5}{6}（{a}_{n-1}-1）$，
∴数列{a_n-1}是等比数列，首项为-15，公比为$\frac{5}{6}$，
∴${a}_{n}-1=-15×（\frac{5}{6}）^{n-1}$，化为a_n=1-$15×（\frac{5}{6}）^{n-1}$．
（2）由（1）可得：log${\;}_{\frac{5}{6}}$$\frac{1-{a}_{n}}{18}$=n，
∴b_n=1+2+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$．
∴T_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=2$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2n}{n+1}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“裂项求和”，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．