Question

5．在平面直角坐标系中xOy，已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）过点$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，且椭圆E的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在以A（0，-b）为直角顶点且内接于椭圆E的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过离心率与a、b、c三者的关系可得椭圆E方程为x²+4y²=a²，代入点$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$计算即可；
（2）假设存在，可设直线AB的方程AB：y=kx-1（k＞0），并与椭圆方程联立，计算可得B点的纵坐标，进而可得|AB|的表达式，讨论可得|AC|的表达式，利用△BAC是等腰直角三角形，计算即得结论．

解答 解：（1）由$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$得${c^2}=\frac{3}{4}{a^2}$，
又${c^2}={a^2}-{b^2}，{b^2}=\frac{1}{4}{a^2}$．                                          
故椭圆E方程为x²+4y²=a²，
椭圆E经过点$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，则${（1）^2}+4{（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）^2}={a^2}$．                           
所以a²=4，b²=1，
所以椭圆E的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．                                   
（2）结论：存在3个满足条件的直角三角形．
理由如下：
假设存在这样的等腰直角三角形BAC，明显直线AB的斜率存在，
因为A点的坐标为A（0，-1），设直线AB的方程AB：y=kx-1（k＞0），
则直线AC的方程为$AC：y=-\frac{1}{k}x-1$．                                   
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-1\;\;\;\;（k＞0）}\\{\frac{x^2}{4}+{y^2}=1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\right.$得：（1+4k²）x²-8kx=0，
所以x=0，或$x=\frac{8k}{{1+4{k^2}}}$，
所以B点的纵坐标为$y=\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}-1$，
所以$|AB|=\sqrt{{{（{0-\frac{8k}{{1+4{k^2}}}}）}^2}+{{（{-1-（{\frac{{8{k^2}}}{{1+4{k^2}}}-1}）}）}^2}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{8k}{{1+4{k^2}}}$．     
同理$|AC|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}•\frac{{\frac{8}{k}}}{{1+\frac{4}{k^2}}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{8}{{{k^2}+4}}$，
因为△BAC是等腰直角三角形，
所以|AB|=|AC|，即$\sqrt{1+{k^2}}•\frac{8k}{{1+4{k^2}}}=\sqrt{1+{k^2}}•\frac{8}{{{k^2}+4}}$，
即$\frac{k}{{1+4{k^2}}}=\frac{1}{{4+{k^2}}}$，
所以k³+4k=1+4k²，即k³-4k²+4k-1=0，
所以（k³-1）-4k（k-1）=0，
即（k-1）（k²-3k+1）=0，
所以k=1，或k²-3k+1=0，
所以k=1，或$k=\frac{{3±\sqrt{5}}}{2}$．                                            
所以这样的直角三角形有三个．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．