Question

15．已知等差数列{a_n}的公差为1，且a₂是a₁与a₄的等比中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{2ⁿ•a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列与等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₂是a₁与a₄的等比中项，∴${a}_{2}^{2}$=a₁•a₄，
∴$（{a}_{1}+1）^{2}$=a₁•（a₁+3），化为a₁=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）2ⁿ•a_n=n•2ⁿ．
数列{2ⁿ•a_n}的前n项和S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n×2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了“错位相减法”与等比数列与等差数列的通项公式及其的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．