Question

10．已知f（x）=x²+2ax+2
（1）当a=-1时，求函数的最小值；
（2）求a的取值范围，使得函数在区间[5，+∞]上为单调增函数；
（3）试求函数在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）将a=-1代入，结合二次函数的性质，从而求出函数的最小值；
（2）先求出函数的导数，结合函数的单调性得到不等式，解出即可；
（3）先求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出函数的最小值．

解答 解：（1）a=-1时，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴f（x）的最小值是1；
（2）f′（x）=2x+2a，
若函数在区间[5，+∞]上为单调增函数，
只需f′（x）=2x+2a≥0在[5，+∞）恒成立，
即a≥-x在[5，+∞）恒成立，
∴a≥-5；
（3）函数f（x）的对称轴是：x=-a，
①当-a≤1，即a≥-1时，f（x）在[1，2]递增，
f（x）_最小值=f（1）=2a+3，
②当1≤-a≤2，即-2≤a≤-1时，
f（x）_最小值=f（-a）=-a²+2，
③-a≥2，即a≤-2时，f（x）在[1，2]递减，
f（x）_最小值=f（2）=4a+6．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．