Question

1．在一次智力测试中，有两个相互独立的题目A、B，答题规则为：被测试者答对问题A可得分数为a，答对问题B的分数为b，没有答对不得分．先答哪个题目由被测试者自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你是被测试者，且假设你答对问题A、B的概率分别为P₁，P₂
（Ⅰ）若P₁=$\frac{1}{2}$，P₂=$\frac{1}{3}$，你应如何依据题目分值选择先答哪一个题目？
（Ⅱ）若已知a=10，b=20，p₁=$\frac{2}{5}$，从统计学的角度分析，当p₂．在什么范围时，选择先答题A的平均得分不低于选择先答题B的平均得分？

Answer 1

分析 （Ⅰ）设先答A的得分为随机变量ξ，先答B的得分为随机变量为?，求得Eξ 和 E? 的值，可得Eξ-E? 的值，分类讨论可得结论．
（Ⅱ）求得 Eξ-E?=10P₁-20P₂+10P₁P₂，选择先答题A的平均得分不低于选择先答题B的平均得分即Eξ≥E?．即10p₁-20p₂+10p₁p₂≥0，由此求得p₂的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）设先答A的得分为随机变量ξ，先答B的得分为随机变量为?．
∵P（ξ=0）=1-P₁；P（ξ=a）=P₁（1-P₂）；P（ξ=a+b）=P₁P₂，∴Eξ=0+a•P₁（1-P₂）+（a+b）P₁P₂．
∵P（?=0）=1-P₂，P（?=b）=P₂（1-P₁），P（?=a+b）=P₁P₂，
∴E?=0+b•P₂（1-P₁）+（a+b）P₁P₂．
∴Eξ-E?=a•P₁（1-P₂）-b•P₂（1-P₁）．
再结合P₁=$\frac{1}{2}$，P₂=$\frac{1}{3}$，可得 Eξ-E?=$\frac{a}{3}$-$\frac{b}{6}$，故当a＞$\frac{b}{2}$时，选择先答A；a＜$\frac{b}{2}$时选择先答B；a=$\frac{b}{2}$时选择先答A、B均可．
（Ⅱ）若a=10，b=20，p₁=$\frac{2}{5}$，则 Eξ-E?=10P₁-20P₂+10P₁P₂，
选择先答题A的平均得分不低于选择先答题B的平均得分即Eξ≥E?．
即10p₁-20p₂+10p₁p₂≥0，即p₁-2p₂+p₁p₂≥0，所以${p_2}≤\frac{p_1}{{2-{p_1}}}=\frac{1}{4}$，所以$0≤{p_2}≤\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式，离散型随机变量的分布列，属于中档题．