Question

9．对于函数f（x）=ax³+3x²+（a²+1）x+1，（a≠0，a∈R），甲、乙、丙三位同学的描述有且只有1人是错误的．
甲：函数y=f（x）在区间（-1，0）存在唯一极值点；
乙：对?x₁∈R，?x₂∈R，使得f（x₁）+f（a-x₂）=1；
丙：函数y=f（x）的图象与x轴、y轴以及直线x=1围成图形的面积不小于$\frac{11}{4}$．
则符合条件的实数a的取值范围为$（-∞，\frac{{-3-\sqrt{29}}}{2}]∪（-1，2）∪[\frac{{-3+\sqrt{29}}}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 先判断出乙是正确的，再分别解出（2），（3）都正确的x的范围，通过讨论①（2）错（3）对，②（2）对（3）错的情况，从而求出a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）（a≠0，a∈R）的值域为R，所以乙必正确．
（2）对于甲，f′（x）=3ax²+6x+a²+1，
∴f′（-1）•f′（0）＜0，
∴f′（-1）=3a-6+a²+1＜0，
∴$a∈（\frac{{-3-\sqrt{29}}}{2}，\frac{{-3+\sqrt{29}}}{2}）$；
（3）对于丙，当x∈[0，1]，
∵（a²+1）x≥|a|x³，∴f（x）≥0，
∴$S=\int_0^1{[a{x^3}+3{x^2}+（{a^2}+1）x+1]}dx$
=$[\frac{1}{4}a{x^4}+{x^3}+\frac{1}{2}（{a^2}+1）{x^2}+x]|_0^1=\frac{1}{4}a+1+\frac{1}{2}（{a^2}+1）+1≥\frac{11}{4}$，
所以$a≥\frac{1}{2}$或a≤-1；
若（2）正确，则（3）错误，不合题意，
故（2）错误，（3）正确，
故答案为：$（-∞，\frac{{-3-\sqrt{29}}}{2}]∪（-1，2）∪[\frac{{-3+\sqrt{29}}}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查定积分的应用，考查分类讨论思想，是一道中档题．