Question

19．解关于x的不等式：mx²-（3m+1）x+2（m+1）＞0．
（1）当不等式解集为（-1，2）时，求m的值；
（2）当m≥0时，求关于x的不等式的解集．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次不等式和对应方程的关系，结合根与系数的关系，求出m的值；
（2）讨论m=0以及m＞0时，不等式mx²-（3m+1）x+2（m+1）＞0的解集是什么即可．

解答 解：（1）关于x的不等式mx²-（3m+1）x+2（m+1）＞0的解集为（-1，2）时，
$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{\frac{3m+1}{m}=-1+2}\\{\frac{2（m+1）}{m}=-1×2}\end{array}\right.$，
解得m=-$\frac{1}{2}$；
（2）当m≥0时，若m=0，则不等式化为-x+2＞0，
解得x＜-2，∴不等式的解集为{x|x＜-2}；
若m＞0，则不等式化为[mx-（m+1）]（x-2）＞0，
即（x-$\frac{m+1}{m}$）（x-2）＞0，
令$\frac{m+1}{m}$=2，解得m=1；
∴当0＜m＜1时，$\frac{m+1}{m}$＞2，
不等式的解集为{x|x＜2，或x＞$\frac{m+1}{m}$}；
当m=1时，$\frac{m+1}{m}$=2，
不等式的解集为{x|x≠2}；
当m＞1时，$\frac{m+1}{m}$＜2，
不等式的解集为{x|x＜$\frac{m+1}{m}$，或x＞2}；
综上，m=0，不等式的解集为{x|x＜-2}；
0＜m＜1时，不等式的解集为{x|x＜2，或x＞$\frac{m+1}{m}$}；
m=1时，不等式的解集为{x|x≠2}；
m＞1时，不等式的解集为{x|x＜$\frac{m+1}{m}$，或x＞2}．

点评 本题考查了分类讨论思想的应用问题，也考查了一元二次不等式与二次方程的应用问题，是基础题目．