Question

7．下列命题：
①函数y=-sin（kπ+x）（k∈Z）是奇函数；
②函数f（x）=sin|x|是最小正周期为π的周期函数；
③设θ为第二象限角，则tanθ＞cos$\frac{θ}{2}$，且sin$\frac{θ}{2}$＞cos$\frac{θ}{2}$
④函数y=cos²x+sinx的最小值为-1
其中真命题的序号是①④（（写出所有正确命题的编号））

Answer 1

分析 依次分析命题：①根据奇函数的定义进行判断；
②结合函数y=sin|x|的图象可判断；
③首先推知$\frac{θ}{2}$所在的象限，然后再来比较它们的大小；
④根据sinx∈[-1，1]、y=-（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，利用二次函数的性质求得它的最小值．

解答 解：①函数y=-sin（kπ+x）（k∈Z）=$\left\{\begin{array}{l}{sinx，k是奇数}\\{-sinx，k是偶数}\end{array}\right.$，为奇函数，成立；
②函数y=sin|x|得图象如图所示，由图象可知函数不是周期函数，

故②不成立；
③∵θ是第二象限的角，即2kπ+$\frac{π}{2}$＜θ＜2kπ+π，k∈z，可得kπ+$\frac{π}{4}$＜$\frac{θ}{2}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{θ}{2}$可能在第一或第三象限，
∴无法比较tanθ与cos$\frac{θ}{2}$，sin$\frac{θ}{2}$与cos$\frac{θ}{2}$的大小，故③不一定成立；
④函数y=cos²x+sinx=-sin²x+sinx+1=-（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$，再根据sinx∈[-1，1]，
可得当sinx=$\frac{1}{2}$时，函数取得最大值为$\frac{5}{4}$，当sinx=-1时，函数取得最小值为-1，
故④成立．
综上所述，正确的结论是：①④．
故答案是：①④．

点评 本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意函数的连续性和极限的灵活运用．