Question

17．设函数f（x）=（ax-1）e^x+ax+1，其中e为自然对数的底数，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线x-y+1=0平行，求a的值；
（2）若a=$\frac{1}{2}$，问函数f（x）有无极值点？若有，请求出极值点的个数，若没有，请说明理由；
（3）若?x＞0，f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意求出f′（x），根据条件和导数的几何意义列出方程求出a的值；
（2）把a=$\frac{1}{2}$代入f（x）求出f′（x），化简后构造函数g（x）=e^x（x-1）+1，求出g′（x）判断出g（x）的单调性和范围，再判断出f′（x）与0的关系，得到函数的单调性和极值，即可判断出极值点的个数零，列出关于a的不等式求解；
（3）求出f′（x）和f（0）的值，设h（x）=f′（x），求出h′（x），对a分类讨论，分别利用导数确定函数的单调性，再求a的取值范围．

解答 解：（1）由题意得f（x）=（ax-1）e^x+ax+1，
∴f′（x）=ae^x+（ax-1）e^x+a，
∵在点（0，f（0））处的切线与直线x-y+1=0平行，
∴切线的斜率为f′（0）=a-1+a=1，解得a=1；
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=（$\frac{1}{2}$x-1）e^x+$\frac{1}{2}$x+1，
∴f′（x）=$\frac{1}{2}$e^x+（$\frac{1}{2}$x-1）e^x+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$[e^x（x-1）+1]，
设g（x）=e^x（x-1）+1，则g′（x）=e^x（x-1）+e^x=xe^x≥0，
∴g（x）在R上递增，且g（0）=0，
当x∈（-∞，0）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，
当x∈（0，+∞）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上递减，f（x）在（0，+∞）上递增，
∴当x=0时，函数f（x）取到极小值f（0）=0，没有极大值，
∴方程g（x）=0（即2ax-e^x=0）有两个实根，
∴函数f（x）有1个极值点；
（3）f′（x）=（ax+a-1）e^x+a，f′（0）=2a-1，且f（0）=0，
设h（x）=f′（x），则h′（x）=（ax+2a-1）e^x，
①当a≤0时，x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上为减函数，
∵f′（0）=2a-1＜0，∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数，
∴f（x）＜f（0）=0，不成立；
②当0＜a＜$\frac{1}{2}$，x∈（0，$\frac{1}{a}$-2）时，h′（x）＜0，则h（x）在（0，$\frac{1}{a}$-2）上为减函数，
此时f′（x）＜0，∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上为减函数，∴f（x）＜f（0）=0，不成立；
③当a≥$\frac{1}{2}$，x∈（0，+∞）时，h′（x）＞0，即f′（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴f′（x）≥f′（0）=0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）=0，不等式成立，
综上，a的取值范围是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值、最值的综合应用，考查了转化思想、分类讨论思想以及分析、解决问题的能力．