Question

16．已知函数f（x）=（1-x）e^x-1
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）令x_n•e${\;}^{{x}_{n+1}}$=e${\;}^{{x}_{n}}$-1，x₁=1，证明：数列{x_n}递减且x_n＞$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定函数的单调性，即可证明当x＞0时，f（x）＜0；
（2）首先用数学归纳法证明x_n＞$\frac{1}{{2}^{n}}$，再结合${e}^{{x}_{n}}$-1＜x_n${e}^{{x}_{n}}$，即可证明：{x_n}单调递减．

解答 （1）解：因为f（x）=（1-x）e^x-1，
所以f′（x）=-e^x+（1-x）e^x=-xe^x，
令f′（x）＞0，解得：x＜0，令f′（x）＜0，解得：x＞0，
所以函数f（x）在（-∞，0）递增，在（0，+∞）上单调递减，
因此f（x）_极大值=f（0）=0．                              
（2）证明：首先用数学归纳法证明x_n＞$\frac{1}{{2}^{n}}$．
①当n=1时，1₁=1＞$\frac{1}{2}$，所以x₁＞$\frac{1}{2}$成立．
②假设n=k时，x_k＞$\frac{1}{{2}^{k}}$．
那么当n=k+1时，x_k+1•${e}^{{x}_{k+1}}$=${e}^{{x}_{k+1}}$-1，则x_k+1=$\frac{{e}^{{x}_{k+1}}-1}{{e}^{{x}_{k+1}}}$，
当x＞0时，由不等式e^x-1＞x得$\frac{{e}^{x}-1}{x}$＞1且g（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$在（0，+∞）单调递增，
x_k＞$\frac{1}{{2}^{k}}$，
∴则x_k+1=$\frac{{e}^{{x}_{k+1}}-1}{{e}^{{x}_{k+1}}}$＞$\frac{{e}^{\frac{1}{{2}^{k}}}-1}{\frac{1}{{2}^{k}}}$＞$\frac{1}{{2}^{k+1}}$．
所以x_k+1＞$\frac{1}{{2}^{k+1}}$．
由①②可知对任意的正整数n，总有x_n＞$\frac{1}{{2}^{n}}$．
由（1）知（1-x_n）${e}^{{x}_{n}}$-1＜0，所以${e}^{{x}_{n}}$-1＜x_n${e}^{{x}_{n}}$．
由x_n${e}^{{x}_{n-1}}$=${e}^{{x}_{n}}$-1知x_n+1＜x_n．       
所以{x_n}单调递减．

点评 本题考查导数知识的运用，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．