Question

4．（Ⅰ）已知曲线C：y=xe^x+tanα在 x=$\frac{π}{4}$处的切线与直线ax-y+1=0互相垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）已知点P在曲线y=$\frac{4}{e^x+1}$上，角α为曲线在点P处的切线的倾斜角，求α的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲求出实数a，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．再由两直线垂直的条件，从而可得a；
（Ⅱ）利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+xe^x，
∵曲线在x=$\frac{π}{4}$处的切线与直线ax-y+1=0互相垂直，
∴根据导数几何意义得：f′（$\frac{π}{4}$）=（1+$\frac{π}{4}$）•${e}^{\frac{π}{4}}$=-$\frac{1}{a}$
解得：a=-$\frac{1}{{e}^{\frac{π}{4}}•（1+\frac{π}{4}）}$；
（Ⅱ）解：因为y=$\frac{4}{{e}^{x}+1}$的导数为
y′=$\frac{-4{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$=$\frac{-4}{{e}^{x}+{e}^{-x}+2}$，
∵e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=2，
∴e^x+e^-x+2≥4，
∴y′∈[-1，0）
即tanα∈[-1，0），
∵0≤α＜π
∴$\frac{3π}{4}$≤α＜π．
即α的取值范围是[$\frac{3π}{4}$，π）．

点评 本题主要考查垂直直线的斜率关系、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识．属于基础题．