Question

14．设函数f（x）=x²+2ax-b²+4
（1）若a是从0，1，2三个数中任取的一个数，b是从-2，-1，0，1，2五个数中任取的一个数，求函数f（x）有零点的概率；
（2）若a是从区间[-3，3]上任取的一个数，b是从区间[0，3]上任取的一个数，求函数g（x）=f（x）+5无零点的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）问题等价于a²+b²≥4，列举可得基本事件共有15个，事件A包含6个基本事件，可得概率；（Ⅱ）作出图形，由几何概型的概率公式可得．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x²+2ax-b²+4有零点等价于方程x²+2ax-b²+4=0有实根，
可得△=（2a）²-4（-b²+4）≥0，可得a²+b²≥4
记事件A为函数f（x）=x²+2ax-b²+4有零点，
总的基本事件共有15个：（0，-2，），（2，-1），（2，-2），（0，-1），
（1，-1），（1，-2），（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），
（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），事件A包含9个基本事件，
∴P（A）=$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$
（Ⅱ）如图，试验的全部结果所构成的区域为（矩形区域）

函数g（x）=f（x）+5无零点表示事件A，所构成的区域为A={（a，b）|a²+b²＜9且（a，b）∈Ω}即图中的阴影部分．
∴P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×π×9}{3×6}=\frac{π}{4}$．

点评 本题考查古典概型和几何概型，关键是首先明确概率模型，然后根据根式解答；属基础题