Question

13．已知F（1，0）是抛物线y²=2px（p＞0）的焦点．
（1）求p的值；
（2）点A，B是抛物线在第一象限内的两个动点，线段AB的中点E在直线x=2上，其垂直平分线交x轴于点D．
①求点D的坐标；
②设l为平行于y轴的直线，若l被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点坐标，可得p=2；
（2）①设线段AB的中点为E（2，m），D（d，0），运用中点坐标公式，以及直线的斜率公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，分别求出直线AB和DE的斜率，解方程即可求得d=4；
②设平行于y轴的直线l，方程为x=t，A（x₁，y₁），圆心为C（x₀，y₀），l被圆C截得的弦长为q，则由圆的几何性质可得弦长公式，化简整理，由此能求出直线l，其方程为x=3．

解答 解：（1）抛物线y²=2px的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），
即有$\frac{p}{2}$=1解得p=2；
（2）抛物线y²=4x，
设线段AB的中点为E（2，m），D（d，0），
则y₁+y₂=2m，即m=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$，
由抛物线方程可得x₁=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，x₂=$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，
则MN的斜率为k_DE=$\frac{\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}-0}{2-d}$，
直线AB的斜率为k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
由于DE⊥AB，则k_DE•k_AB=-1，
即有$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2（2-d）}$•$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-1，解得d=4．
则D（4，0）；
②设平行于y轴的直线l的方程为x=t，A（x₁，y₁），圆心为C（x₀，y₀），
l被圆C截得的弦长为q，
则由圆的几何性质可得：q=2$\sqrt{（\frac{|AD|}{2}）^{2}-（{x}_{0}-t）^{2}}$
=2$\sqrt{\frac{（{x}_{1}-4）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}{4}-（\frac{{x}_{1}+4}{2}-t）^{2}}$=2$\sqrt{\frac{-16{x}_{1}}{4}+{x}_{1}-{t}^{2}+t（{x}_{1}+4）}$
=2$\sqrt{（t-3）{x}_{1}+4t-{t}^{2}}$
当t=3时，q=2$\sqrt{3}$为定值．
故直线l的方程为x=3．

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线的斜率公式的运用，以及两直线垂直的条件，中点坐标公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查运算能力，属于中档题．