Question

12．中国渔政310船在一次巡航执法作业中，发现在北偏东45°方向，相距12海里的水面上，有一艘不明国籍渔船正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，中国渔政310船以每小时14海里的速度沿北偏东45°+α方向拦截该渔船，若要在最短的时间内拦截住，求中国渔政310船所需的时间和角α的正弦值．

Answer 1

分析 设中国渔政310船经过x小时后在C处追上渔船，利用余弦定理、正弦定理，即可得出结论．

解答 解：如图，设中国渔政310船经过x小时后在C处追上渔船，
则AC=14x，BC=10x，∠ABC=120°，
根据余弦定理可得（14x）²=12²+（10x）²-240xcos120°，
∴x=2，
∴AC=28，BC=20，
根据正弦定理得$\frac{BC}{sinα}=\frac{AC}{sin120°}$，
∴sinα=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴中国渔政310船经过2小时后在C处追上渔船，角α的正弦值为$\frac{5\sqrt{3}}{14}$．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查余弦定理、正定理的运用，属于中档题．