Question

2．已知函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1；
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若存在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b），使得y=f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，在满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．
（2）令f（x）=0，求出 x的值，可得相邻的零点之间的间隔依次为$\frac{π}{3}$、$\frac{2π}{3}$．f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，等价于b-a的最小值为2×$\frac{2π}{3}$+3×$\frac{π}{3}$．

解答 解：（1）对于函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，
求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈z．
（2）令f（x）=0，求出 sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，∴x=kπ-$\frac{π}{4}$，或x=kπ-$\frac{7π}{12}$，
故相邻的零点之间的间隔依次为$\frac{π}{3}$、$\frac{2π}{3}$．
y=f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，等价于b-a的最小值为 2×$\frac{2π}{3}$+3×$\frac{π}{3}$=$\frac{7π}{3}$．

点评 本题主要考查正弦函数的图象，正弦函数的单调性和零点，属于基础题．