Question

7．若点P在曲线y=-$\frac{2}{3}$x³-2x²-x+3上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）
• B． [$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{π}{2}$，π）
• C． [0，$\frac{π}{3}$]∪（$\frac{2π}{3}$，π）
• D． [0，$\frac{π}{4}$]∪（$\frac{π}{2}$，π）

Answer 1

分析 先根据导数运算对函数y=-$\frac{2}{3}$x³-2x²-x+3进行求导，再由切线斜率的值等于该点导函数的值，可求得切线斜率的范围，进而可得到α的范围．

解答 解：∵y=-$\frac{2}{3}$x³-2x²-x+3，
∴y′=-2x²-4x-1=-2（x+1）²+1，
∴tanα=y′=-2（x+1）²+1≤1，
又∵α∈[0，π），
∴α∈[0，$\frac{π}{4}$]∪（$\frac{π}{2}$，π）
故选D．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义，注意运用正切函数的图象和性质．