Question

19．已知复数z=$\frac{a+4i}{1+ai}$，a＞0，且z=$\overline{z}$，若1+ai是关于x的方程x²+bx+c=0的一根，则b，c分别为（　　）

• A． 4，-8
• B． 2，-5
• C． -4，8
• D． -2，5

Answer 1

分析 首先化简复数z，利用z=$\overline{z}$，求出a，然后利用一元二次方程的根与系数的关系求出b，c．

解答 解：复数z=$\frac{a+4i}{1+ai}$=$\frac{（a+4i）（1-ai）}{（1+ai）（1-ai）}$=$\frac{5a+（4-{a}^{2}）i}{1+{a}^{2}}$=$\frac{5a}{1+{a}^{2}}+\frac{4-{a}^{2}}{1+{a}^{2}}i$，因为z=$\overline{z}$，
所以$\frac{4-{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$=0，解得a=±2，又a＞0，所以a=2，
又1+2i是关于x的方程x²+bx+c=0的一根，
所以另一个根为1-2i，
所以b=（-1+2i+1-2i）=-2，c=（1+2i）（1-2i）=5；
故选：D．

点评 本题考查了复数的运算、共轭复数以及一元二次方程根与系数的关系；比较基础．