Question

18．设m=3${∫}_{-1}^{1}$（x²+sinx）dx，则二项式（x+$\frac{1}{m\sqrt{x}}$）⁶展开式的常数项为$\frac{15}{16}$．

Answer 1

分析 求定积分求得m的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项．

解答 解：∵m=3${∫}_{-1}^{1}$（x²+sinx）dx=3（$\frac{{x}^{3}}{3}$-cosx）${|}_{-1}^{1}$=（x³-3cosx）${|}_{-1}^{1}$=2，
则二项式（x+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）⁶ 展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{6}^{r}$•2^-r•${x}^{6-\frac{3}{2}r}$，令6-$\frac{3}{2}$r=0，求得r=4，
可得展开式的常数项为${C}_{6}^{4}$•2^-4=$\frac{15}{16}$，
故答案为：$\frac{15}{16}$．

点评 本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，属于基础题．