Question

3．若函数f（x）的自变量x在区间I上，恒有f（x）＜0（或f（x）＞0），则称f（x）是区间I上的“负任性函数”（或“正任性函数”）．已知g（x）=x-$\frac{1}{x}$，函数f（x）=mg（x）+g（mx）是区间[1，+∞）上的“负任性函数”，则实数m的取值范围是（-∞，-1）．

Answer 1

分析 通过化简可知当x∈[1，+∞）f（x）=2mx-$\frac{{m}^{2}+1}{mx}$＜0，当m＞0时即解不等式2m²x²＜m²+1，当m＞0时即解不等式2m²x²＞m²+1，计算即得结论．

解答 解：∵g（x）=x-$\frac{1}{x}$，
∴f（x）=mg（x）+g（mx）
=m（x-$\frac{1}{x}$）+mx-$\frac{1}{mx}$
=2mx-$\frac{{m}^{2}+1}{mx}$，
∵函数f（x）是区间[1，+∞）上的“负任性函数”，
∴当x∈[1，+∞），f（x）=2mx-$\frac{{m}^{2}+1}{mx}$＜0，
下面对m的正负进行讨论：
①当m＞0时，2mx-$\frac{{m}^{2}+1}{mx}$＜0，即2m²x²＜m²+1，
∴${m}^{2}＜\frac{1}{2{x}^{2}-1}$，
∵x∈[1，+∞），
∴2x²-1∈[1，+∞），$\frac{1}{2{x}^{2}-1}$∈（0，1]，
∴m²＜0，无解；
②当m＞0时，2mx-$\frac{{m}^{2}+1}{mx}$＜0，即2m²x²＞m²+1，
∴m²＞$\frac{1}{2{x}^{2}-1}$，
∵x∈[1，+∞），
∴2x²-1∈[1，+∞），$\frac{1}{2{x}^{2}-1}$∈（0，1]，
∴m²＞1，
∴m＜-1或m＞1（舍）；
综上所述：m＜-1，
故答案为：（-∞，-1）．

点评 本题考查函数的最值，涉及解不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．