Question

4．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a${\;}_{n}^{2}$，b_n=log₂a_n，求证：数列{b_n+1}是等比数列．

Answer 1

分析 通过a_n+1=2a${\;}_{n}^{2}$，利用对数的性质可得b_n+1=1+2b_n，变形可得1+b_n+1=2（1+b_n），进而可得结论．

解答 证明：∵a_n+1=2a${\;}_{n}^{2}$，b_n=log₂a_n，
∴b_n+1=log₂a_n+1
=log₂2a${\;}_{n}^{2}$
=log₂2+$lo{g}_{2}{{a}_{n}}^{2}$
=1+2log₂a_n
=1+2b_n，
∴1+b_n+1=2（1+b_n），
即数列{b_n+1}是以2为公比的等比数列．
∵a₁=2，
∴b₁=log₂a₁=log₂2=1，
∴1+b_n=（1+1）•2^n-1=2ⁿ．

点评 本题考查等比数列的判定，注意解题方法的积累，属于中档题．