Question

19．已知数列{b_n}满足b₁=1，b₂=5，b_n+1=5b_n-6b_n-1，若数列{a_n}满足a₁=1，a_n=b_n（$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n-1}}$）（n≥2，n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n+1-3b_n}为等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（2）求证：（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{3}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）＜3．

Answer 1

分析 （1）由{b_n}满足b₁=1，b₂=5，b_n+1=5b_n-6b_n-1（n≥2），知b_n+1-3b_n=2（b_n-3b_n-1），故{b_n+1-3b_n}成等比数列，由此能求出b_n=3ⁿ-2ⁿ．
（2）由a_n=b_n（$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n-1}}$），n∈N^*，推导出$\frac{{1+a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+1}}$，从而得到∴（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{3}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=$\frac{1+{a}_{1}}{{a}_{1}}$•$\frac{1+{a}_{2}}{{a}_{2}}$•…•$\frac{{1+a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{{3}^{n}-{2}^{n}}$，n∈Z^*．由此能够证明结论．

解答 证明：（1）∵b_n+1=5b_n-6b_n-1，
∴b_n+1-3b_n=2b_n-6b_n-1=2（b_n-3b_n-1），
∴数列{b_n+1-3b_n}为等比数列，
又∵b₁=1，b₂=5，
∴b₂-3b₁=5-3=2，
∴b_n+1-3b_n=2•2^n-1=2ⁿ，
∴b_n+1=3b_n+2ⁿ，
∴b_n+1+2ⁿ⁺¹=3（b_n+2ⁿ），
又∵b₁=1，∴b₁+2=3，
∴b_n+2ⁿ=3•3^n-1=3ⁿ，
∴b_n=3ⁿ-2ⁿ；
（2）∵a_n=b_n（$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n-1}}$）（n≥2，n∈N^*），
∴1+a_n=b_n（$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n-1}}$）+1=b_n（$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n-1}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$），
∴$\frac{{1+a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{b}_{n}（\frac{1}{{b}_{1}}+\frac{1}{{b}_{2}}+…\frac{1}{{b}_{n}}）}{{b}_{n+1}（\frac{1}{{b}_{1}}+\frac{1}{{b}_{2}}+…+\frac{1}{{b}_{n}}）}$=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n+1}}$，
∴（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{3}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）
=$\frac{1+{a}_{1}}{{a}_{1}}$•$\frac{1+{a}_{2}}{{a}_{2}}$•…•$\frac{{1+a}_{n}}{{a}_{n}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$•$\frac{1+{a}_{1}}{{a}_{2}}$•$\frac{1+{a}_{3}}{{a}_{2}}$•…•$\frac{1+{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$•（1+a_n）
=$\frac{1}{{a}_{1}}$•$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$•$\frac{{b}_{2}}{{b}_{3}}$•…•$\frac{{b}_{n-1}}{{b}_{n}}$•b_n•（$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n-1}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$）
=$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$•（$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n-1}}$+$\frac{1}{{b}_{n}}$）
=$\frac{1}{1}$•（$\frac{1}{3-2}$+$\frac{1}{{3}^{2}-{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}-{2}^{n}}$）
=$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{{3}^{n}-{2}^{n}}$，
∵1-$（\frac{2}{3}）^{k}$≥$\frac{1}{3•{2}^{k-1}}$，
f（k）=1-$（\frac{2}{3}）^{k}$单调递增，
g（k）=$\frac{1}{3•{2}^{k-1}}$单调递减，
∴3^k-2^k≥$（\frac{3}{2}）^{k-1}$，
∴$\frac{1}{{3}^{k}-{2}^{k}}$≤$（\frac{2}{3}）^{k-1}$，
∴$\sum_{k=1}^{n}$$\frac{1}{{3}^{n}-{2}^{n}}$≤$\sum_{k=1}^{n}$$（\frac{2}{3}）^{k-1}$=$\frac{1}{1-\frac{2}{3}}$=3，
∴（1+$\frac{1}{{a}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{2}}$）（1+$\frac{1}{{a}_{3}}$）…（1+$\frac{1}{{a}_{n}}$）＜3．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意构造法和等价转化思想的合理运用，属于中档题．