Question

14．已知a₁，a₂，…，a_n∈R⁺，且a₁²+a₂²+…+a_n²=1（n∈N^*）．
（1）求证：a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n+a_na₁≤1；
（2）求证：a₁+a₂+…+a_n≤$\frac{n+1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式的性质即可证明；
（2）利用柯西不等式即可得出．

解答 证明：（1）∵a₁，a₂，…，a_n∈R⁺，
∴2a₁a₂≤${{a}_{1}}^{2}$+${{a}_{2}}^{2}$，
2a₂a₃≤${{a}_{2}}^{2}$+${{a}_{3}}^{2}$，
…
2a_n-1a_n≤${{a}_{n-1}}^{2}$+${{a}_{n}}^{2}$，
2a_na₁≤${{a}_{n}}^{2}$+${{a}_{1}}^{2}$，
∴2（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n+a_na₁）≤2（a₁²+a₂²+…+a_n²），
又∵a₁²+a₂²+…+a_n²=1（n∈N^*），
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n+a_na₁≤1；
（2）∵$（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）^{2}$≤$（{a}_{1}^{2}+{a}_{2}^{2}+…+{a}_{n}^{2}）$（1+1+…+1）（共有n个1），当且仅当a_i=a_j时取等号．
∴a₁+a₂+…+a_n≤$\sqrt{n}$≤$\frac{n+1}{2}$．
∴a₁+a₂+…+a_n≤$\frac{n+1}{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与基本能力，属于中档题．