Question

4．下列五个命题：
①“a＞2”是“f（x）=ax-sinx为R上的增函数”的充分不必要条件；
②函数$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+x+1$有两个零点；
③集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是$\frac{1}{3}$；
④动圆C既与定圆（x-2）²+y²=4相外切，又与y轴相切，则圆心C的轨迹方程是y²=8x（x≠0）；
⑤若对任意的正数x，不等式e^x≥x+a恒成立，则实数a的取值范围是a≤1．
其中正确的命题序号是①③⑤．

Answer 1

分析 利用导数法求出f（x）=ax-sinx为R上的增函数等价命题，进而根据充要条件的定义，可判断①；
求出函数$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+x+1$的零点个数，可判断②；
求出从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率，可判断③；
求出圆心C的轨迹方程，可判断④；
求出使不等式e^x≥x+a恒成立，的实数a的取值范围，可判断⑤．

解答 解：当f（x）=ax-sinx时，f′（x）=a-cosx，当a≥1时，f′（x）≥0在R上恒成立，f（x）=ax-sinx为R上的增函数，
由{a|a＞2}?{a|a≥1}，故“a＞2”是“f（x）=ax-sinx为R上的增函数”的充分不必要条件，即①正确；
当函数$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+x+1$时，f′（x）=-x²+1，令f′（x）=0，则x=±1，根据三次函数的图象和性质，可得当x=-1时，f（x）的极小值$\frac{1}{3}$＞0，故f（x）仅有一个零点，故②错误；
集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取一个数共有2×3=6种情况，其中这两数之和等于4有（2，2），（3，1）两种情况，故这两数之和等于4的概率是$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，故③正确；
动圆C既与定圆（x-2）²+y²=4相外切，又与y轴相切，则圆心C的轨迹方程是y²=8x（x≠0）或y=0（x＜0），故④错误；
若对任意的正数x，不等式e^x≥x+a恒成立，即a≤e^x-x对任意的正数x恒成立，令h（x）=e^x-x，则h′（x）=e^x-1，当x＞0时，h′（x）＞0恒成立，故h（x）在（0，+∞）上为增函数，
则a≤h（0）=1，故⑤正确；
故正确的命题序号是①③⑤；
故答案为：①③⑤

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，函数的单调性，函数的零点，概率，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，轨迹方程，恒成立问题等知识点，综合性强，属于中档题．