Question

2．平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，其中$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（2，1），平面区域D由所有满足$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$，（0≤μ≤λ≤1）的点P（x，y）组成，点P使得z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值3，则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值是（　　）

• A． 3+2$\sqrt{2}$
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由满足的关系式得，$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-3≤0}\\{2y-x-3≤0}\\{x≤y}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，可得当P（3，3）时Z取得最大值，3a+3b=6，由基本不等式得$\frac{1}{a}$$+\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}$$+\frac{2}{b}$）（a+b）=3$+\frac{b}{a}$$+\frac{a}{b}$$≥3+2\sqrt{2}$，当且仅当b=$\sqrt{2}a$时“=”成立

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（2，1），平面区域D由所有满足$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$，点P（x，y）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=λ+2μ}\\{y=2λ+μ}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{λ=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y}\\{μ=\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y}\end{array}\right.$
∵0≤μ≤λ≤1．
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-3≤0}\\{2y-x-3≤0}\\{x≤y}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$

可得当P（3，3）时Z取得最大值，3a+3b=6，由基本不等式得$\frac{1}{a}$$+\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}$$+\frac{2}{b}$）（a+b）=3$+\frac{b}{a}$$+\frac{a}{b}$$≥3+2\sqrt{2}$，当且仅当b=$\sqrt{2}a$时“=”成立，

点评 本题考查平面向量的综合题，线性规划的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化