Question

18．解不等式：
（1）解不等式$\frac{3x-7}{{x}^{2}+2x-3}$≥2；
（2）解关于x的不等式（x-2）（ax-2）＞0．

Answer 1

分析 （1）把分式不等式化为整式不等式，解得即可；
（2）需要分类讨论，即可得到不等式的解集．

解答 解：（1）∵$\frac{3x-7}{{x}^{2}+2x-3}$≥2，
∴$\frac{3x-7}{{x}^{2}+2x-3}$-2≥0，
∴$\frac{2{x}^{2}+x+1}{（x+3）（x-1）}$≤0，
∵2x²+x+1＞0恒成立，
∴（x+3）（x-1）＜0，
解得-3＜x＜1，
故原不等式的解集为（-3，1）；
（2）①当a=0时，原不等式化为-2（x-2）＞0，解得x＜2，
②当a＞0时，原不等式化为（x-2）（x-$\frac{2}{a}$）＞0，
若$\frac{2}{a}$＞2，即0＜a＜1时，解得x＜2，或x＞$\frac{2}{a}$，
若$\frac{2}{a}$＜2，即a＞1时，解得，x＜$\frac{2}{a}$，或x＞2，
若$\frac{2}{a}$=2，即a=1时，解得，x≠2，
③当a＜0时，原不等式化为（x-2）（x-$\frac{2}{a}$）＜0，解得$\frac{2}{a}$＜x＜2，
综上所述：当a=0时，原不等式的解集为（-∞，2），
当0＜a＜1时，原不等式的解集为（-∞，2）∪（$\frac{2}{a}$，+∞），
当a＞1时，原不等式的解集为（-∞，$\frac{2}{a}$）∪（2，+∞），
当a=1时，原不等式的解集为（-∞，2）∪（2，+∞），
当a＜0时，原不等式的解集为（$\frac{2}{a}$，2）．

点评 本题考查了不等式的解法，关键是分类讨论，属于中档题．