Question

2．已知f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$t）=t²+at+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[-1，0]时，f（x）的最小值为3，求实数a的值；
（3）若x∈[0，+∞）时，|f（x）|≤3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设x=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t，即有t=（$\frac{1}{2}$）^x，可得f（x）的解析式；
（2）令t=（$\frac{1}{2}$）^x，（1≤t≤2），讨论t=1，t=2，t=-$\frac{a}{2}$取得最小值3，求得a，检验即可得到所求a的值；
（3）若x∈[0，+∞）时，|f（x）|≤3恒成立，即为t=（$\frac{1}{2}$）^x，（0＜t≤1），即有-3≤t²+at+1≤3，运用参数分离和函数的单调性，可得最值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）设x=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t，即有t=（$\frac{1}{2}$）^x，
即有f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x+a•（$\frac{1}{2}$）^x+1；
（2）令t=（$\frac{1}{2}$）^x，（1≤t≤2），
则y=t²+at+1，由t=1时，取得最小值为3，
即为2+a=3，解得a=1，由对称轴t=-$\frac{1}{2}$在区间[1，2]的左边，
[1，2]递增，即有t=1最小；
由t=2取得最小值3，即有5+2a=3，解得a=-1，
由对称轴t=$\frac{1}{2}$在区间[1，2]的左边，
[1，2]递增，即有t=1最小，舍去；
若t=-$\frac{a}{2}$取得最小值3，即为1-$\frac{{a}^{2}}{4}$=3，无解，
综上可得a=1；
（3）若x∈[0，+∞）时，|f（x）|≤3恒成立，
即为t=（$\frac{1}{2}$）^x，（0＜t≤1），即有-3≤t²+at+1≤3，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{2}{t}-t}\\{a≥-\frac{4}{t}-t}\end{array}\right.$，
由y=$\frac{2}{t}$-t在（0，1]递减，即有a≤1；
由y=-t-$\frac{4}{t}$在（0，1]递增，即有a≥-5，
综上可得-5≤a≤1．

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查可化为二次函数的最值的求法，不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性的运用，属于中档题和易错题．