Question

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0。
（1）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（2）求函数f（x）的极值点；
（3）证明：对任意的正整数n，不等式ln（+1）＞都成立。

Answer 1

解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（-1，+∞）

设g（x）=2x²+2x+b，其图象的对称轴为
∴
当
即g（x）=2x²+2x+b>0在（-1，+∞）上恒成立
∴当x∈（-1，+∞）时，f'（x）>0
∴当时，函数f（x）在定义域（-1，+∞）上单调递增。
（2）①由（1）得：当时，函数f（x）无极值点
时，有两个相同的解

∵

∴时，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点
③当时，f'（x）=0有两个不同解
，
∵
即x₁?（-1，+∞），x₂∈（-1，+∞）
∴b<0时，f'（x）、f（x）随x的变化情况如下表：

由此表可知b<0时，f（x）有唯一极小值点
当时，
∴x₁、x₂∈（-1，+∞）
此时，f'（x）、f（x）随x的变化情况如下表：

由此表可知：时，f（x）有一个极大值点x₁=
和-个极小值点
综上所述，b<0时，f（x）有唯一极小值点；
时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点
时，f（x）无极值点。
（3）当b=-1时，函数
令函数
则
∴当x∈[0，+∞）时，h'（x）>0，所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，
又h（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）>h（0）=0，即x³>x²-ln（x+1）恒成立，
故当x∈（0，+∞）时，有ln（x+1）>x²-x³
对任意正整数n，取
则有
所以结论成立。