Question

14．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b=2c，则∠C的取值范围为$（0，\frac{π}{3}]$．

Answer 1

分析 将已知条件平方后，结合余弦定理，及基本不等式求解出cosC的范围．得出角C的范围．

解答 解：在△ABC中，∵a+b=2c，
∴（a+b）²=4c²
∴a²+b²=4c²-2ab≥2ab
即c²≥ab．
当且仅当a=b是，取等号．
由余弦定理知
cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{3{c}^{2}-2ab}{2ab}$=$\frac{3{c}^{2}}{2ab}-1$$≥\frac{1}{2}$
∴$0＜C≤\frac{π}{3}$
故填：$（0，\frac{π}{3}]$

点评 考查余弦定理与基本不等式，三角函数范围问题，切入点较难，故属于中档题．