Question

2．已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且侧棱长都相等，若四棱稚的体积为$\frac{16}{3}$，则该球的表面积为（　　）

• A． $\frac{32π}{3}$
• B． $\frac{81π}{4}$
• C． 9π
• D． $\frac{243π}{16}$

Answer 1

分析 设球半径为R，底面中心为O'且球心为O．利用底面ABCD是边长为2的正方形，且侧棱长都相等，若四棱稚的体积为$\frac{16}{3}$，求出PO'=2、OO'=4-R，在Rt△AOO′中利用勾股定理建立关于R的等式，解出R，即可求出球的表面积．

解答 解：如图所示，设球半径为R，底面中心为O'且球心为O，
∵底面ABCD是边长为2的正方形，且侧棱长都相等，若四棱稚的体积为$\frac{16}{3}$，
∴$\frac{1}{3}×2×2×PO′$=$\frac{16}{3}$，
∴PO'═4，OO'=PO'-PO=4-R．
∵在Rt△AOO'中，AO²=AO'²+OO'²，
∴R²=（$\sqrt{2}$）²+（4-R）²，解之得R=$\frac{9}{4}$．
∴该球的表面积为4πR²=$\frac{81}{4}π$
故选：B．

点评 本题给出正四棱锥的形状，求球的表面积，着重考查了正棱锥的性质、多面体的外接球、勾股定理等知识，属于中档题．