Question

7．已知圆M：x²+y²-2x+a=0．
（1）若a=-8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；
（2）若AB为圆M的任意一条直径，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．

Answer 1

分析 （1）分类讨论：当切线的斜率存在时，设切线的方程为 l：y-5=k（x-4），利用直线与圆相切的性质即可得出．斜率不存在时直接得出即可．
（2）$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MA}$）•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MB}$），即可得出结论．

解答 解：（1）若a=-8，圆M：x²+y²-2x+a=0即（x-1）²+y²=9，圆心（1，0），半径为3，
斜率不存在时，x=4，满足题意；
斜率存在时，切线l的斜率为 k，则 l：y-5=k（x-4），即l：kx-y-4k+5=0 
由$\frac{|-3k+5|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，解得k=$\frac{8}{15}$，∴l：8x-15y+43=0，
综上所述切线方程为x=4或8x-15y+43=0；
（2）$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MA}$）•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{MB}$）=1-（1-a）=-6，∴a=-6，
∴圆M的半径=$\sqrt{1+6}$=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了二次方程与圆的方程之间的关系、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了向量的数量积公式，属于中档题．