Question

已知函数f（x）=x³+3bx²+cx+d在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，且f（x）=0的一个根为﹣b
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求证：f（x）=0还有不同于﹣b的实根x₁、x₂，且x₁、-b、x₂成等差数列；
（Ⅲ）若函数f（x）的极大值小于16，求f（1）的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）解：求导函数，可得f'（x）=3x²+6bx+c
∵函数f（x）=x³+3bx²+cx+d在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，
∴x=0是极大值点，
∴f'（0）=0，∴c=0
（Ⅱ）证明：令f'（x）=0，得x=0或﹣2b
由f（x）的单调性知﹣2b≥2，∴b≤﹣1
∵﹣b是方程f（x）=0的一个根，则（﹣b）³+3b（﹣b）²+d=0d=﹣2b³
∴f（x）=x³+3bx²﹣2b³=（x+b）（x²+2bx﹣2b²）
方程x²+2bx﹣2b²=0的根的判别式△=4b²﹣4（﹣2b²）=12b²＞0
又（﹣b）²+2b（﹣b）﹣2b²=﹣3b²≠0，
即﹣b不是方程x²+2bx﹣2b²=0的根，
∴f（x）=0有不同于﹣b的根x₁、x₂．
∴x₁+x₂=﹣2b，
∴x₁、﹣b、x₂成等差数列 
（Ⅲ）解：根据函数的单调性可知x=0是极大值点
∴f（0）＜16﹣2b³＜16，∴b＞﹣2，
于是﹣2＜b≤﹣1
令g（b）=f（1）=﹣2b³+3b+1
求导g'（b）=﹣6b²+3﹣2＜b≤﹣1时，g'（b）＜0，
∴g（b）在（﹣2，﹣1]上单调递减
∴g（﹣1）≤g（b）＜g（﹣2）即0≤f（1）＜11