Question

已知直角梯形ABCD中∠DAB=90°，AD∥BC，AB=2，，，椭圆F以A、B为焦点且经过点D．
（1）建立适当坐标系，求椭圆F的方程；
（2）若点E满足=，是否存在不平行于AB的直线L与椭圆F交于M、N两点，且|ME|=|NE|？若存在，求出直线L与AB夹角的范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）如图，以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴
建立平面直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0）．c=1
设椭圆F方程为：
，D（-1，）在椭圆上代入可得
∴椭圆F的方程是：． （7分）
（2）由=得：E（0，），若L⊥AB，则与题意不符，
故可设L：y=kx+m（k≠0）
由　，
若M、N存在，则△＞0即64k²m²-4（3+4k²）•（4m²-12）＞0，4k²+3＞m²，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点F（x₀，y₀），
则，，
∴∴4k²+3＜4
∴∴且k≠0
∴L与AB的夹角的范围是（0，）． （14分）
分析：（1）考虑先以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴建立平面直角坐标系，设椭圆F方程为：，则由题意可得c=1，D（-1，）在椭圆上代入可求a，b，从而可求椭圆得方程
（2）由=可求E（0，），若L⊥AB，则与题意不符，可设L：y=kx+m（k≠0），由直线与椭圆有2个交点可得△＞0，即4k²+3＞m²，利用方程根与系数关系可求，，可得从而可求
点评：利用椭圆（抛物线、双曲线）得性质求解相应的方程是圆锥曲线得常考试题，解题的关键是要灵活利用圆锥曲线的性质．