Question

袋中装有一些大小相同的球，其中有号数为1的球1个，号数为2的球2个，号数为3的球3个，…，号数为n的球n个．从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ，求ξ的概率分布和期望．

Answer 1

分析：由题意知从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ则变量的可能取值是1、2、3…n，当ξ=1时，表示从袋中取球，取到一号球，试验发生包含的所有事件共有（1+2+3+…+n），而满足条件的事件数是1，求比值得到概率，以此类推，写出分布列和期望．

解答：解：由题意知从袋中任取一球，其号数作为随机变量ξ则变量的可能取值是1、2、3…n，
当ξ=1时，表示从袋中取球，取到一号球，试验发生包含的所有事件共有（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

2

，
而满足条件的事件数是1，
∴P（ξ=1）=

1

n(n+1) 2

=

2

n(n+1)

，
以此类推，得到其他变量的概率，
∴ξ的概率分布为

∴Eξ=1×

2

n(1+n)

+2×

4

n(1+n)

+3×

6

n(n+1)

++n×

2n

n(n+1)

=

2

n(1+n)

（1²+2²+3²++n²）
=

2n+1

3

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，用到等差数列的前n项和，本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．