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袋中装有一些大小相同的球,其中有号数为1的球1个,号数为2的球2个,号数为3的球3个,…,号数为n的球n个.从袋中任取一球,其号数作为随机变量ξ,求ξ的概率分布和期望.
【答案】分析:由题意知从袋中任取一球,其号数作为随机变量ξ则变量的可能取值是1、2、3…n,当ξ=1时,表示从袋中取球,取到一号球,试验发生包含的所有事件共有(1+2+3+…+n),而满足条件的事件数是1,求比值得到概率,以此类推,写出分布列和期望.
解答:解:由题意知从袋中任取一球,其号数作为随机变量ξ则变量的可能取值是1、2、3…n,
当ξ=1时,表示从袋中取球,取到一号球,试验发生包含的所有事件共有(1+2+3+…+n)=
而满足条件的事件数是1,
∴P(ξ=1)==
以此类推,得到其他变量的概率,
∴ξ的概率分布为

∴Eξ=1×+2×+3×++n×
=(12+22+32++n2
=
点评:本题考查离散型随机变量的分布列和期望,用到等差数列的前n项和,本题这种类型是近几年高考题中经常出现的,考查离散型随机变量的分布列和期望,大型考试中理科考试必出的一道问题.
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