Question

已知函数f（x）=x²ln|x|若关于x的方程f（x）=kx-1有实数解，求实数k的取值范围是（　　）

A．（-∞，-1]∪[1，+∞）

B．（-∞，-2]∪[2，+∞）

C．（-∞，-2]∪[1，+∞）

D．（-∞，-1]∪[2，+∞）

Answer 1

分析：由题意可得，函数y=f（x）的图象与直线y=kx-1有交点，先看当k＞0时，用导函数求出当直线y=kx-1与f（x）的图象相切时k的值，再根据对称性求出k＜0时直线y=kx-1与f（x）的图象相切时k的值，进而求出f（x）=kx-1有实数解，求实数k的取值范围．

解答：解：由题意可得，函数f（x）=x²ln|x|的图象和直线y=kx-1有交点，
由于函数f（x）满足f（-x）=f（x），故f（x）是偶函数，
函数f（x）的图象如图．
先求当直线y=kx-1与f（x）的图象相切时k的值．
当k＞0时，f'（x）=x•（2lnx+1）
设切点为P（a，f（a）），
则切线方程为y-f（a）=f'（a）（x-a），
将x=0，y=-1代入，得-1-f（a）=f'（a）（-a）
即a²lna+a²-1=0（*）．
显然，a=1满足（*），
而当0＜a＜1时，a²lna+a²-1＜0，
当a＞1时，a²lna+a²-1＞0，
∴（*）有唯一解a=1，此时k=f'（1）=1．
再由对称性，k=-1时，y=kx-1也与f（x）的图象相切，
∴若方程f（x）=kx-1有实数解，则实数k的取值范围是（-∞，-1]∪[1，+∞），
故选A．

点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性和奇偶性的综合运用．在解决函数的单调性问题时，常利用导函数的性质，属于中档题．