Question

【题目】已知椭圆的离心率是，且经过点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过右焦点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为H，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）第一问考查了椭圆方程中的关系，用待定系数法求解

（2）第二问，先把直线方程与椭圆方程联立，再用韦达定理可求出和，从而发现直线过定点，结合三角形面积计算公式和基本不等式，即可得出答案.

（1）由，得，，

所以，即椭圆方程为

把点代入椭圆方程得

即，

所以所求椭圆方程为

（2）显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，，则，

联立，消x得：.

显然，

由韦达定理得：，

直线的方程为：，

令，得：

即直线与x轴交于一个定点，记为

，当且仅当时，等号成立.